OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA JUDEŢEANĂ, CĂLĂRAŞI, 1 MARTIE 2008

Clasa a V-a

1.  În vacanţa de vară Alexandru şi-a propus să viziteze un prieten care se afla în altă localitate situată pe aceeaşi şosea naţională ca şi satul său. Şi-a pregătit bicicleta şi fix la ora 7 dimineaţa a plecat, fără să ştie precis ce distanţă va parcurge. Curios, la plecare s-a uitat la borna kilometrică şi a văzut că pe aceasta era scris un număr format din două cifre. După exact trei ore de la plecare a trecut prin dreptul unei borne kilometrice care indica tot un număr de două cifre, aceleaşi ca la plecare, dar în ordine inversă. După alte trei ore ajunge la o bornă pe care era scris un număr de trei cifre, cu prima cifră identică cu prima cifră a numărului de pe borna de la ora 7.00, cifra zecilor 2 şi cifra unităţilor 5. Alexandru a ajuns la prietenul său la ora 14. Dacă acceptăm că Alexandru a mers cu aceeaşi viteză tot drumul, fără să facă pauze, să se afle:
     a) Ce număr era scris pe borna de la ora 7?
     b) Care a fost distanţa parcursă de Alexandru?

prof. Florin Marcu

2.  a)  Determinaţi numărul natural n astfel încât

b)  Determinaţi numărul natural n ştiind că

Gazeta Matematică nr. 12/2007

3.  Se dă mulţimea A = {2, 4, 6,..., 2004, 2006}.
     a)  Găsiţi toate submulţimile mulţimii A care conţin două elemente şi suma acestor elemente este egală cu 4000.
     b)  Aflaţi numărul submulţimilor mulţimii A care conţin două elemente şi suma acestor elemente este egală cu 2008.
     c)  Aflaţi numărul submulţimilor mulţimii A care conţin patru elemente şi suma acestor elemente este egală cu 4016.

prof. Adriana Olaru

4.  a)  Cele 25 de pătrăţele ale unui pătrat se colorează cu patru culori. Arătaţi că oricum am colora pătrăţelele există întotdeauna cel puţin o linie şi o coloană pe care se află cel puţin 2 pătrăţele colorate cu aceeaşi culoare.
     b)  Se consideră numerele:


Determinaţi numărul .

prof. Gina Cioboată şi Sorin Furtună

Clasa a VI-a

1.  Fie triunghiul ascuţitunghic ABC, (AD bisectoarea unghiului BAC cu    .
Desenaţi punctele M şi N astfel încât AB să fie mediatoarea segmentului (DM) şi AC să fie mediatoarea segmentului (DN). Arătaţi că:
     a)  DM = DN;
     b)  AM = AN;
     c)  MN este perpendiculară pe AD.

prof. Aurelia Caţaros şi Adriana Constantin

2.  a)  Determinaţi numărul natural nenul a astfel încât numerele: a, a+2, a+6, a+12, a+18, a+20, a+26, a+30, a+32, a+36, a+60 să fie simultan prime.

b)  Fie n un număr natural nenul. Arătaţi că

c)  Calculaţi:

prof. Stelică Pană

3.  Fie x şi y două numere naturale. Să se arate că dacă 11 | (7x + 9y), atunci :
     a)  11 | (2x + y) ;
     b)  11 | (x + 6y) ;
     c)  fracţia           este ireductibilă.

prof. Relu Ciupea

4.  a)  Se consideră 11 puncte, oricare trei dintre ele necoliniare şi se colorează interioarele segmentelor determinate de aceste puncte folosindu-se 3 culori. Arătaţi că oricum am colora segmentele, oricare din cele 11 puncte este extremitate pentru cel puţin 4 segmente colorate cu aceeaşi culoare.
     b)  Dana şi Adina au fiecare o cameră foto care funcţionează cu 2 baterii, ambele încărcate. Dana are 8 baterii, dintre care 4 sunt încărcate, iar Adina are 12 baterii, dintre care sunt încărcate 6. După aspect, nu se poate deosebi o baterie încărcată de una descărcată. Care dintre cele două fete are şanse mai mari să găsească de la prima încercare o pereche de baterii încărcate? (Justificarea răspunsului revine la determinarea probabilităţii ca Dana, respectiv Adina, să găsească din prima încercare 2 baterii încărcate)

prof. Adriana Olaru şi Sorin Furtună