Centrul Regional de Pregătire a Tinerilor Capabili de Performanță Călărași - Clasa a VIII-a
Poliedre
1. Se dă un cub ABCDA'B'C'D'. Calculaţi măsura unghiului
planelor:
a) (DC'B') şi (DBA')
b) (DC'B') şi (ABC').
2. Fie piramida triunghiulară regulată SABC. Prin muchia BC se duce
un plan perpendicular pe muchia SA. Ştiind că lungimea muchiei
laterale este de 10 cm, iar lungimea înălţimii este de 8 cm, să
se afle:
a) distanţa dintre două muchii opuse;
b) aria triunghiului de secţiune.
3. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu 
.
Fie O centrul dreptunghiului ABCD. Să se demonstreze că paralelipipedul este cub dacă şi numai dacă C'O și A'C sunt perpendiculare.
4. Fie cubul ABCDA'B'C'D'. Paralela dusă prin O (centrul feţei ADD'A') la AC intersectează planul (BB'C') în T. Să se determine sinusul unghiului format de planele (CTO) şi (AB'D').
5. Fie cubul ABCDA'B'C'D' şi M un punct pe semidreapta (AB astfel încât BM = AB. Să se arate că triunghiurile AMD' şi ACB' au acelaşi centru de greutate.
6. Se dă un paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile a, b, c.
Demonstraţi că acest paralelipiped este cub dacă şi numai dacă are loc egalitatea:
7. Fie ABCD un tetraedru şi M, N, P mijloacele muchiilor BC, CD şi BD. Dacă unghiul DBC este drept, să se arate că
.
8. Fie cubul ABCDA'B'C'D' cu AD = 1. Calculaţi distanţa dintre dreptele BD' şi DC'.
9. Se dă un paralelipiped dreptunghic cu lungimile muchiilor a, b, c, diagonala d şi volumul V. Demonstraţi că
10. Se dă prisma triunghiulară dreaptă ABCA'B'C' în care unghiul BAC este drept. Să se arate că dreptele BA' şi B'C sunt perpendiculare dacă şi numai dacă faţa ABB'A' este pătrat.
11. Volumul unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile x, y, z este 2002 
.
Volumul unui alt paralelipiped cu dimensiunile x + 11, y + 13, z + 14 este de 8 ori mai mare decât volumul paralelipipedului iniţial.
Să se determine aria totală a paralelipipedului iniţial.
12. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C'.
Să se demonstreze că planele (ABC') şi (BCA') sunt perpendiculare dacă şi numai dacă
13. Fie ABCD un tetraedru regulat cu muchia de 36 cm. Dacă punctele N şi P sunt situate pe muchiile BD, respectiv CD astfel încât BN = 8 cm şi CP = 15 cm, arătaţi că planele (ANP) şi (BCD) sunt perpendiculare.